作者：李曉奇，東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)史。

　　本文摘編自呂變庭主編《科學(xué)史研究論叢 第1輯》一書(shū)，有刪減，轉(zhuǎn)自科學(xué)網(wǎng)。

　　對(duì)任何一個(gè)學(xué)科來(lái)說(shuō)，研究其歷史都是非常重要的。而對(duì)于數(shù)學(xué)這一學(xué)科尤為重要，這是數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特征決定的。

　　為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史

　　這個(gè)問(wèn)題可謂前人之述備矣。但在這里我們還是要把一些要點(diǎn)說(shuō)出來(lái)，以給學(xué)生們啟發(fā)。

　　英國(guó)哲學(xué)家里德(T.Reid，1710—1796)說(shuō)：

　　“數(shù)學(xué)系統(tǒng)一旦在少數(shù)公理和原始定義的基礎(chǔ)上完美地建立起來(lái)，就構(gòu)成了一個(gè)堅(jiān)如磐石的基礎(chǔ)。然后年復(fù)一年地發(fā)展和成長(zhǎng)，最終形成一種能為人類(lèi)理性所引以為自豪的堅(jiān)固結(jié)構(gòu)。”

　　這就提醒我們這樣一個(gè)事實(shí)：數(shù)學(xué)思想的起源與傳播有其自身規(guī)律，相對(duì)其他學(xué)科來(lái)講有更強(qiáng)的連續(xù)性。數(shù)學(xué)理論體系從未發(fā)生推倒重來(lái)的情況，數(shù)學(xué)發(fā)展史上的每一次突破都奠基于前人成果的基礎(chǔ)之上。因而，溫故知新成為數(shù)學(xué)傳播研究的必由之路。注意一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)是建立在公理的基礎(chǔ)上的，而其他科學(xué)是建立在假說(shuō)的基礎(chǔ)上的。這才導(dǎo)致數(shù)學(xué)擁有與其他科學(xué)不同的特征，數(shù)學(xué)史的研究也顯得十分重要了。數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)在于有一套提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的普遍理論和方法。相對(duì)數(shù)學(xué)而言，科學(xué)的證明依賴(lài)于觀察、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理解力;數(shù)學(xué)的證明是依靠嚴(yán)密的邏輯推理。而在思維嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家眼里，物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)等自然科學(xué)都是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，難以達(dá)到數(shù)學(xué)定理證明所具有的絕對(duì)程度，只能提出近似于真理的概念。

　　數(shù)學(xué)不僅是自然科學(xué)的“王后”，同時(shí)也是自然科學(xué)的“仆人”，一直忠實(shí)地服務(wù)于其他科學(xué)。這完全是緣于她的能力。因?yàn)檫^(guò)去的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，所有的科學(xué)問(wèn)題在本質(zhì)上都是簡(jiǎn)單而有序的。物理學(xué)所有的定理都可以用數(shù)學(xué)公式表示出來(lái)。人類(lèi)的智慧堅(jiān)持用簡(jiǎn)單的概念闡明科學(xué)的基本問(wèn)題，數(shù)學(xué)就是一個(gè)基本的方法。

　　數(shù)學(xué)是歷史積淀的產(chǎn)物，只有了解數(shù)學(xué)史才有利于對(duì)數(shù)學(xué)作整體的把握。數(shù)學(xué)史研究的是歷史上的數(shù)學(xué)，探討其產(chǎn)生和發(fā)展的原因、規(guī)律，以及受其他社會(huì)因素影響的數(shù)學(xué)問(wèn)題;還要研究數(shù)學(xué)在萌芽、形成和發(fā)展過(guò)程中起主導(dǎo)作用的基本思想及其傳播和繼承的規(guī)律。不僅涉及過(guò)去的和現(xiàn)在的數(shù)學(xué)，還探討未來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)與特點(diǎn)，以指引當(dāng)前數(shù)學(xué)科學(xué)的走向，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育服務(wù)。

　　數(shù)學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中，在解決諸如不變與變，有限與無(wú)限，部分與整體，具體與抽象，離散與連續(xù)，確定與隨機(jī)，精確與近似等矛盾的過(guò)程中，形成了特色鮮明的科學(xué)思想和方法。

　　除了少數(shù)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)工作者研究純數(shù)學(xué)，大多數(shù)數(shù)學(xué)家或科技工作者從事的是應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究。應(yīng)用數(shù)學(xué)是利用數(shù)學(xué)的方法來(lái)發(fā)展經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的學(xué)科。應(yīng)用數(shù)學(xué)始于經(jīng)驗(yàn)性事實(shí)，止于對(duì)經(jīng)驗(yàn)性事實(shí)進(jìn)行規(guī)律性預(yù)測(cè)，這些規(guī)律還必須被其他的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所證實(shí)。從研究過(guò)程可以看出應(yīng)用數(shù)學(xué)的真諦：從自然現(xiàn)象出發(fā)，回到自然現(xiàn)象。因此，用數(shù)學(xué)理論來(lái)發(fā)展經(jīng)驗(yàn)科學(xué)往往又會(huì)向數(shù)學(xué)提出深刻的挑戰(zhàn)，并啟示純數(shù)學(xué)研究的新方向。

　　關(guān)于數(shù)學(xué)歷史與創(chuàng)新的關(guān)系，吳文俊院士有深刻的論述，他說(shuō)：

　　“假如你對(duì)數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，對(duì)一個(gè)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展，對(duì)一個(gè)理論的興旺和衰落，對(duì)一個(gè)概念的來(lái)龍去脈，對(duì)一種重要思想的產(chǎn)生和影響等這許多歷史因素都弄清了，我想，對(duì)數(shù)學(xué)就會(huì)了解得更多，對(duì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻，還可以對(duì)數(shù)學(xué)的未來(lái)起一種指導(dǎo)作用，也就是說(shuō)，可以知道數(shù)學(xué)究竟應(yīng)該按怎樣的方向發(fā)展可以收到最大的效益。”

　　近代應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)端于英國(guó)，牛頓是其鼻祖。為了解釋觀察到的大量天體運(yùn)行的資料，解釋天體運(yùn)行的基本規(guī)律，牛頓建立起天體運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型，提出了劃時(shí)代的三大力學(xué)定律和萬(wàn)有引力定律。但是，力學(xué)定律的內(nèi)涵超越了那個(gè)時(shí)代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的范圍，牛頓不得不開(kāi)拓新的領(lǐng)域，發(fā)明了微積分，然后再用微積分、力學(xué)定律和萬(wàn)有引力，求得了行星運(yùn)行的規(guī)律。在19世紀(jì)末的英國(guó)，所有的理論物理被稱(chēng)為應(yīng)用數(shù)學(xué)。人們運(yùn)用“概括法”從一個(gè)復(fù)雜的物理過(guò)程中概括出關(guān)鍵的物理因素，然后再用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析。

　　學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史要達(dá)到的幾個(gè)目的

　　李文林先生說(shuō)過(guò)，研究數(shù)學(xué)史通常有三種態(tài)度：為歷史而歷史，為數(shù)學(xué)而歷史，為教育而歷史。

　　對(duì)于我們從事高等教育的人來(lái)說(shuō)，當(dāng)然免不了要把數(shù)學(xué)史的研究和學(xué)習(xí)與教育聯(lián)系起來(lái)。我們想達(dá)到的目的當(dāng)然很多，但其中的幾個(gè)需要特別提出。

　　1.對(duì)數(shù)學(xué)抽象性的認(rèn)識(shí)

　　抽象是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，也經(jīng)常成為學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。在此，讓學(xué)生們認(rèn)識(shí)到抽象的基本過(guò)程和抽象的作用是必要的。抽象不僅是高度的概括和提煉，而且越抽象的東西應(yīng)用范圍也越廣。

　　數(shù)學(xué)史上最早也是最重要之一的抽象是正整數(shù)的出現(xiàn)。數(shù)學(xué)問(wèn)題本來(lái)就源于“實(shí)在的”而不是抽象的問(wèn)題。早期的數(shù)值十分具體，而不像今天的數(shù)據(jù)那么“抽象”。

　　因此，從5匹馬到5個(gè)“東西”再到“5”便成就了數(shù)學(xué)史上巨大的精神飛躍。

　　接下來(lái)就是另一個(gè)“飛躍”。正整數(shù)的出現(xiàn)自然驅(qū)使人們?nèi)パ芯克倪\(yùn)算規(guī)律。如果單純探討2+3=3+2, 5+8=8+5等等的具體結(jié)果就會(huì)陷入無(wú)休止的羅列中。人們巧妙地引入了符號(hào)：

　　a+b=b+a

　　這里a、b可以代表任意正整數(shù)。

　　隨著符號(hào)的引入，數(shù)學(xué)進(jìn)入了從“數(shù)”到“類(lèi)”的飛躍，從而從算術(shù)階段進(jìn)入了代數(shù)階段。

　　相信學(xué)生們?cè)诖藭?huì)“頓悟”的，也許學(xué)習(xí)過(guò)程中從來(lái)沒(méi)有人給他們點(diǎn)透過(guò)。就好像學(xué)生在應(yīng)試過(guò)程中做了無(wú)數(shù)的對(duì)數(shù)題目，卻沒(méi)有意識(shí)到對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的實(shí)質(zhì)——降低運(yùn)算級(jí)別:

　　“ …by shortening the labours, doubled the life of the astronomer。”

　　(以縮短計(jì)算時(shí)間使天文學(xué)家壽命加倍)

　　——Pierre-Simon Laplace

　　2.對(duì)世界各個(gè)文明所做貢獻(xiàn)的客觀認(rèn)識(shí)

　　在公元前2000年，古巴比倫數(shù)學(xué)的發(fā)展就已經(jīng)開(kāi)始。而他們對(duì)勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)的研究在至少公元前1700年就已經(jīng)取得了驚人的成就。出土的泥板中有大量的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，包括15組勾股數(shù)。其中最大的一組勾股數(shù)按照現(xiàn)代的計(jì)數(shù)方法，斜邊是18541，一條直角邊是12709。

　　事實(shí)上數(shù)學(xué)史上有四個(gè)偉大時(shí)代：古巴比倫時(shí)代、古希臘時(shí)代、牛頓時(shí)代以及始于19世紀(jì)初直至現(xiàn)在的黃金時(shí)代。

　　3.了解中西方數(shù)學(xué)思維的差異

　　中國(guó)人擅長(zhǎng)計(jì)算，而古希臘人擅長(zhǎng)邏輯推理。泰勒斯(Thales, 約公元前624—前547)開(kāi)邏輯證明之先河：他不滿(mǎn)足于人們看到的一個(gè)圓被其任一直徑分割為相同的兩部分，還要想辦法“證明”它們是相等的。他認(rèn)為靠直觀觀察畢竟是有限的，系統(tǒng)的證明才更加可靠和長(zhǎng)久。

　　4.了解前人的奮斗歷史和治學(xué)精神

　　這也是“為教育而歷史”的目的之一——就是要通過(guò)選擇生動(dòng)、豐富、典型的歷史事件或史實(shí)，并用恰當(dāng)方式展現(xiàn)在課堂或課程中，讓學(xué)生切實(shí)“了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神”。

　　惠威爾(W.Whewell)在《歸納科學(xué)史》中寫(xiě)道：

　　“除了頑強(qiáng)的毅力和失眠的習(xí)慣，牛頓不承認(rèn)自己與常人有什么區(qū)別。當(dāng)有人問(wèn)他是怎樣做出自己的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，他的回答是：‘老是想著它們’。另一次他宣稱(chēng)：如果他在科學(xué)上做了一點(diǎn)事情，那完全歸功于他的勤奮與耐心思考，心里總是裝著研究的問(wèn)題，等待那最初的一線(xiàn)希望漸漸變成普照一切的光明。”

　　希爾伯特在1930年退休時(shí)被柯尼斯堡授予榮譽(yù)市民稱(chēng)號(hào)。他發(fā)表了演說(shuō)，并以著名的六個(gè)字作為結(jié)束，以表達(dá)他對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)以及奉獻(xiàn)于數(shù)學(xué)的一生：

　　We must know, we shall know!

　　5.了解數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程和教材、專(zhuān)著的差別

　　數(shù)學(xué)論文和專(zhuān)著一般都是經(jīng)過(guò)“包裝”的，也就是說(shuō)，是按邏輯順序從定義到性質(zhì)、定理等等組織內(nèi)容、精心撰寫(xiě)的。那些數(shù)學(xué)真理、數(shù)學(xué)定理又是怎樣被發(fā)現(xiàn)的?往往很少涉及，或語(yǔ)焉不詳。而對(duì)于學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，這一點(diǎn)又恰恰至關(guān)重要。而且常常書(shū)籍之中展現(xiàn)的結(jié)果剛好跟實(shí)際演變過(guò)程相反，自然導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到困難，這就需要我們教師給予點(diǎn)撥。

　　對(duì)于數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)思想的灌輸，我們首先應(yīng)該認(rèn)識(shí)到它的重要性，應(yīng)該傳授給學(xué)生以思想和方法?？梢哉f(shuō)數(shù)學(xué)思想和方法比數(shù)學(xué)計(jì)算更重要。當(dāng)然這就對(duì)教師提出了更高的要求。